Question

如图所示的几何体中，四边形为菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 为的中点， 为平面内任一点.

（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；

（2）过， ， 三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；

(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.

试题解析：

（1）过点存在直线使，理由如下：

由题可知为的中点，又为的中点，

所以在中，有.

若点在直线上，则直线即为所求作直线，

所以有；

若点不在直线上，在平面内，

过点作直线，使，

又，所以，

即过点存在直线使.

（2）连接， ，则平面将几何体分成两部分：

三棱锥与几何体（如图所示）.

因为平面平面，且交线为，

又，所以平面.

故为几何体的高.

又四边形为菱形， ， ， ，

所以 ，

所以 .

又，所以平面，

所以 ，

所以几何体的体积 .