选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线
的参数方程是
（
为参数），以平面直角坐标系的原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线
的极坐标方程是
.
（Ⅰ）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线
被曲线
的截得的弦长.
已知函数
，曲线
在
（
是自然对数的底数）处的切线与圆
在点
处的切线平行.
（Ⅰ）证明： 
；
（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
已知椭圆
： 
（
）过点
， 
、
分别为其左、右焦点， 
为坐标原点，点
为椭圆上一点， 
轴，且
的面积为
.
（Ⅰ）求椭圆
的离心率和方程；
（Ⅱ）设
、
是椭圆上两动点，若直线
的斜率为
，求
面积的最大值.
某学校设有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学与英语成绩（单位：分），用
表示，下面是乙班6名学生的测试分数： 
， 
， 
， 
， 
， 
，当学生的数学、英语成绩满足
，且
时，该学生定为优秀生.
（Ⅰ）已知甲班共有80名学生，用上述样本数估计乙班优秀生的数量；
（Ⅱ）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名为优秀生的概率；
（Ⅲ）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为
，求
的分布列及其数学期望.
已知等边三角形
的边长为4，四边形
为正方形，平面
平面
， 
， 
， 
， 
分别是线段
， 
， 
， 
上的点.
（Ⅰ）如图①，若
为线段
的中点， 
，证明： 
平面
；
（Ⅱ）如图②，若
， 
分别为线段
， 
的中点， 
， 
，求二面角
的余弦值.
已知
中，内角
， 
， 
的对边分别为
， 
， 
，且
， 
是关于
的方程
的两个实根， 
.
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）求
面积的取值范围.
