Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°。

（1） 证明：直线BC∥平面PAD;

（2） 若△PAD面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积。

Answer

（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.

（2）.

【解析】

（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.

（2）去AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.

设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以

因为△PCD的面积为，所以

，

解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，

所以四棱锥P-ABCD的体积.