Question

已知函数f（x）=。

    （Ⅰ）用定义证明：函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数；

（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）－mx是偶函数，求实数m的值。

Answer

(1)详见解析;(2)-2.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设，计算的结果等于，可得，从而判断函数在区间上是减函数；（Ⅱ）因为函数， 是偶函数，从而得到，由此求得的值.

试题解析：（Ⅰ）设,且,

所以=

因为，所以<0， -2<0.

所以>0.即.

所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数.

（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx，所以g（x）=-2x-2-mx=-（2+m）x-2.

又因为g（x）是偶函数，所以g（-x）=g（x）.所以-（2+m）（-x）-2=-（2+m）x-2.

所以2（2+m）x=0.因为x是任意实数，所以2+m=0.所以m=-2.

点睛：本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，其具体步骤为：1、取值；2、作差；3、化简；4、判断，得结论.其关键步骤是化简中的因式分解，将最后的结果和0比较；考查了函数奇偶性的性质，若函数为偶函数，则对定义域内任意均有恒成立，代入后根据对应系数相等可得结果.