设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆过点,直线交轴于,且, 为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆的上顶点,过点分别作直线交椭圆于两点,设这两条直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点.
拖延症总是表现在各种小事上,但日积月累,特别影响个人发展.某校的一个社会实践调查小组,在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中,随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如下列联表:
| 有明显拖延症 | 无明显拖延症 | 合计 |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合计 | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明显拖延症进行分层,已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷,现从这8份问卷中再随机抽取3份,并记其中无明显拖延症的问卷的份数为,试求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若在犯错误的概率不超过的前提下认为无明显拖延症与性别有关,那么根据临界值表,最精确的的值应为多少?请说明理由.
附:独立性检验统计量,其中.
独立性检验临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
如图:直三棱柱中, , , 为中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的正切值.
已知数列是公差为2的等差数列,数列满足,若时,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求的前项和.