Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ， 垂直于底面， ， ， 分别为， 的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求四棱锥的体积和截面的面积．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得，而，所以由线面垂直判定定理得平面，即得, 再由等腰三角形性质得,因此由线面垂直判定定理得平面,即证得；（2）易得四棱锥的高,再根据锥体体积公式得四棱锥的体积;要求截面的面积,先确定截面的形状:由三角形中位线性质得,即得，而平面，所以，即四边形是直角梯形，最后利用直角梯形面积公式求解面积.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵是的中点， ，∴，

由底面，得，

又，即，

∴平面，∴，∴平面

∴．

（Ⅱ）【解析】
由，得底面直角梯形的面积，

由底面，得四棱锥的高，

所以四棱锥的体积．

由， 分别为， 的中点，得，且，

又，故，由（Ⅰ）得平面，又平面，

故，∴四边形是直角梯形，

在中， ， ，

∴截面的面积．