Question

设函数，曲线在处的切线为．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明．

Answer

(Ⅰ) 单调递增区间为，，单调递减区间为; (Ⅱ) 证明过程见解析.

【解析】试题分析：（1）求解函数的导数，求解的解集，进而得到函数的单调区间；

（2）由，又，可得函数在上单调递增，得，从而得的单调性与最小值，即可作出证明。

试题解析：

(Ⅰ) 函数定义域为，，

由已知得，，得：，，

所以，由得或，

由得，所以函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为．

(Ⅱ) 由，

令，，因为 （），

所以，所以在上为增函数，

所以（时取“”），

而，由， 得：，

所以时，，时，，

所以在为增函数，在为减函数，

而，，所以（时取“”），

所以，即：．

点睛：本题考查了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出新函数，利用新函数的单调性，确定函数的单调性与最小值是解答的关键。试题有一定的难度，属于中档试题。