Question

已知椭圆的离心率是，上顶点是抛物线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若是椭圆上的两个动点，且是坐标原点），由点作于,试求点的轨迹方程.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由题意，根据题设条件，求解的值，即可求解椭圆的标准方程；

（2）当直线轴，设直线，联立椭圆的方程，解得的坐标，再由，即可确定；当直线不平行轴时，设直线，联立椭圆的方程，解得的坐标，再由，即可确定；进而利用点到直线的距离，求得动点轨迹方程。

试题解析：

（Ⅰ）由题设知 ①

又 ②

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）若直线轴，设直线，并联立椭圆方程解出

，，，，由得

定值；

若直线不平行轴，设直线，，，联立椭圆 的方程消得，设，，，，由韦达定理得 ③， ④，由得，即，即，

即 ⑤

把③、④代入⑤并化简得 ，所以 又原点到直线的距离定值，所以动点的轨迹是以点 为圆心，为半径的圆，其方程为．

点睛：本题椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线的方程代入椭圆的方程，转化为根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题。