Question

已知圆： ，定点， 是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线， 过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设建立方程求解；（2）依据题设建立直线方程与椭圆方程联立，再运用坐标之间的关系进行分析推证和探求：

试题解析：

（1）因为在线段的中垂线上，所以.

所以 ，

所以轨迹是以， 为焦点的椭圆，且， ，所以，

故轨迹的方程.

（2）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为， ， .

联立，得 ，

则， .①

由，

得 .②

由①、②，得.③

设原点到直线的距离为，

，

④

由③、④，得，故四边形的面积为定值，且定值为.

点睛：椭圆是重要的圆锥曲线之一，也是高考重点考查的重要考点和热点之一，求解第一问时，充分依据题设条件借助椭圆的定义求出参数使得问题获解；解答第二问时，先依据题设建立直线的方程为，后与椭圆方程联立，再运用坐标之间的关系建立 ，然后进行分析推证和探求获得定值的结论。