Question

在四棱锥中， ， ， 是的中点，面面.

（Ⅰ）证明： 面；

（Ⅱ）若， ，求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）依据题设运用线面平行的判定定理分析推证；（2）运用二面角的定义找出二面角的平面角，再通过解三角形探求：

试题解析：

（Ⅰ）证明：取的中点，连接， .

因为是的中位线，所以.

又，所以，所以四边形是平行四边形.

所以，又面， 面，所以面.

（Ⅱ）取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形.

所以，所以在以为直径的圆上.

所以，可得.

过做于，因为面面，且面面，

所以面，所以.

过做于，则面，连接，则，所以是二面角的平面角.

在中， ，连接， .

在中， .

，即二面角的余弦值.