Question

已知数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.

（1）试求当为何值时，数列是等比数列，并求出它的通项公式；

（2）在（1）的条件下，当为何值时，数列的前项和取得最大值.

Answer

（1）， ；（2）当=9时，数列的前项和取最大值.

【解析】试题分析：

（1）已知数列项与前项和的关系式， ，可再写出时， ，两式相减可得的递推式，本题得，因此只要也有，则数列是等比数列；（2）由（1）得， ，数列是递减数列，要使最大，则只要，由此可得最大时的值．

试题解析：

（1）由得：当时， ，

两式相减得： ，

因为数列是等比数列，所以，

又因为，所以解得：

得：

（2）易得数列是一个递减数列，

所以

由此可知当=9时，数列的前项和取最大值.