Question

已知函数, , 为常数， 是自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，证明恒成立；

（Ⅱ）若对于任意能成立，试确定实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） 的取值范围为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，求出函数的，利用导函数的符号判断单调性，求出函数的最小值，推出结果；（Ⅱ）不等式化简为，令，则，利用单调性求解函数的最值，推出结果．

试题解析：（Ⅰ）证明：当时， ，

由得，故的单调递增区间为；

得，故的单调递减区间为；

所以函数有最小值为，所以恒成立．

（Ⅱ） 当时，不等式化为

令，则； 在上单调递减，在上单调递增；

因为，所以

所以， 的取值范围是：

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.