Question

已知函数，

(1)若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；

(2)求方程的根的个数

Answer

（1）a＝－2或a＝－8.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求出函数 的导函数 ，令，可得函数只有一个极值点，根据点到直线的距离公式可得结果；（2） 根的个数等价于的零点个数，利用导数研究函数的单调性，可得结果.

试题解析：(1)由f′(x)＝＝0，得x＝0，

故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，

根据题意得：

d＝＝1.

∴a＝－2或a＝－8.

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x2＋1)－－a，

h′(x)＝＋＝2x.

当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)≥0，

当x∈(－∞，－1)∪(－1,0)时，h′(x)＜0.

因此，h(x)在(－∞，－1)，(－1,0)上时，h(x)单调递减，

在(0,1)，(1，＋∞)上时，h(x)单调递增.

又h(x)为偶函数，当x∈(－1,1)时，h(x)的极小值为h(0)＝1－a.

当x→－1－时，h(x)→－∞，当x→－1＋时，h(x)→＋∞，

当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞.

由根的存在性定理知，方程在(－∞，－1)和(1，＋∞)一定有根

故f(x)＝g(x)的根的情况为：

当1－a＞0时，即a＜1时，原方程有2个根；

当1－a＝0时，即a＝1时，原方程有3个根．

当1－a<0时，即a>1时，原方程有4个根．

【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.