Question

已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.

Answer

(1) ;(2) 或.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义可得 ,又 ，可得 ，（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长可得AB，利用原点到直线距离得三角形的高，根据三角形面积公式可得的面积为，令，利用基本不等式求最值.

试题解析：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为： ，

由椭圆的定义知： ，

所以，又因为，所以，

因此，所求椭圆的方程为；

（2）设过的直线的方程为： ，

由，消得： ，

∴，

∴，

∵到直线的距离，

∴，

令，则，

∴，当且仅当，即，

即时，取“=”，

∴的面积最大时，直线的方程为： 或.