Question

已知函数. 

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且，证明.

Answer

（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）见解析

【解析】【试题分析】（１）借助导数与和函数的单调性之间的关系分析求解；（２）借助题设条件构造函数运用导数知识求【解析】

【解析】
.

(1)当时， ，令，有或，当或时， ；当时， .所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.

(2)由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即，

，设，则，

在上单调递减，所以，即 .

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先对函数求导，然后借助导数与和函数的单调性之间的关系求出其单调区间，解答本题的第二问时，先依据题设条件构造目标函数，然后运用导数知识求出其最小值，从而使得问题获解。