Question

（本题满分10分）

已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.

Answer

（1）＝1（2）存在定点M(1，0)，

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据过的直线交椭圆于两点，且的周长为8，可得，即，利用， ，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由消元可得，利用动直线与椭圆E有且只有一个公共点，可得，进而可得，由得，取

，猜想满足条件的点存在，只能是，再进行证明即可

试题解析：（1）∵,即.

又，所以.

又因为，即，所以，所以.

故椭圆的方程为.

（2）法一：由消去得.

因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，且，即

，化简得.

此时， ，所以

由得

从而以线段为直径的圆的方程满足，化简得

.

由对称性知，点必在轴上.而当时， ,易得，此式恒成立.

故命题成立.定点坐标为.

法二：由消去得.

因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，且，即

，化简得.

此时， ，所以

由得.

因为存在定点满足条件，由图形对称性知：点必在轴上.取

此时以为直径的圆的方程为交轴于,;取，此时，以为直径的圆的方程为，交轴于点.所以满足条件的点存在，其必为.

下面证明点满足条件.

因为所以，故

恒有,故点恒在以线段为直径的圆上.

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程