Question

已知函数（）．

（Ⅰ）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；

（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得切线斜率，再由点斜式得切线方程，代入点可解得，再根据函数导函数小于零，解得单调减区间；（Ⅱ）先由题意得，恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：的最大值，最后利用导数求函数，最大值，经过二次求导可得在区间内为增函数，，因此.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，

所以，又，所以，得，

由，得，所以函数的单调减区间为．

（Ⅱ）因为当→时，，所以在区间内恒成立不可能． 所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的，恒成立，即对，恒成立．

令，，则．

再令，，则 ，

所以在区间内为减函数，所以，

∴．

于是在区间内为增函数，所以，

所以要使恒成立，只要．

综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为．

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.