已知函数().
(Ⅰ)若函数在处的切线平行于直线,求实数的值;
(Ⅱ)讨论在上的单调性;
(Ⅲ)若存在,使得成立,求的取值范围.
已知, 分别为椭圆: 的左、右焦点,点在椭圆上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)设直线的斜率为,直线与椭圆交于, 两点,若点在第一象限,且,求面积的最大值.
如图,三棱柱中,侧棱平面, 为等腰直角三角形, , , 分别是, 的中点,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)若,求点到平面的距离 .
已知正项等比数列满足, , 成等差数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照, , , 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在, 的数据).
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的, 的值;
(Ⅱ)分数在的学生设为一等奖,获奖学金500元;分数在的学生设为二等奖,获奖学金200元.已知在样本中,获一、二等奖的学生中各有一名男生,则从剩下的女生中任取三人,求奖学金之和大于600的概率.
关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数来估计的值.假如统计结果是,那么可以估计__________.(用分数表示)