Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为），圆的参数方程为： （其中为参数）.

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求.

Answer

（1）直线与圆相离；（2）．

【解析】试题分析：

(1)利用极坐标方程、参数方程与直角坐标系间的转化关系，可得直线和圆的普通方程，进而能判断直线和圆的位置关系. (2)将椭圆的参数方程化为普通方程为，由直线： 的斜率为，可得直线的斜率为，即倾斜角为，进而求得直线的参数方程为 (为参数)，把直线的参数方程代入，整理得 (*)，然后再利用韦达定理和弦长公式即可求出结果.

试题解析：

【解析】
(1)将直线的极坐标方程，化为直角坐标方程： .

将圆的参数方程化为普通方程： ，圆心为，半径.

∴圆心到直线的距离为，

∴直线与圆相离.

(2)将椭圆的参数方程化为普通方程为，

∵直线： 的斜率为，

∴直线的斜率为，即倾斜角为，

则直线的参数方程为 (为参数)，即 (为参数)，

把直线l'的参数方程代入，

整理得 (*)

由于，

故可设， 是方程(*)的两个不等实根，则有， ，

.