（本小题满分13分）已知函数
（
为常数，
）
（1）若
是函数
的一个极值点，求
的值；
（2）求证：当
时，
在
上是增函数；
（3）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求正实数
的取值范围.
已知椭圆
： 
的左焦点
，若椭圆上存在一点
，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于线段
的中点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过坐标原点
的直线交椭圆
： 
于
、
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，连结
并延长交椭圆
于
，求证： 
.
如图，在四棱柱
中，底面ABCD和侧面
都是矩形，E是CD的中点，
，
.
（1）求证：
；
（2）若平面与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.
据某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份开始采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.
（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价
（万元/平方米）与月份
之间具有较强的线性相关关系，试建立
关于
的回归方程（系数精确到0.01）；政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月的数据作样本分析，若关注所抽三个月的所属季度，记不同季度的个数为
，求
的分布列和数学期望.
参考数据及公式： 
， 
， 
；
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， 
.
已知数列
的首项
，当
时， 
，数列
满足
（
）.
（1）求证：数列
是等差数列，并求
的通项公式；
（2）若
，如果对任意
，都有
，求实数
的取值范围.
已知函数
，则使得
成立的
的范围是__________．
