Question

已知函数， （其中）.对于不相等的实数，设， .现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数，都有；

（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；

（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；

（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.

其中的真命题有_____________（写出所有真命题的序号）.

Answer

①④

【解析】 对于①中，由于指数函数为单调递增函数，所以是成立的，所以是正确的；

对于②中，由于二次函数的单调性可知在递减，在上单调递增，

所以是不一定成立的，所以是不正确的；

对于③中，由于，可得，即为，

设，

当时， ，则单调递减，所以不正确。

对于④中，由于，可得，即为，

设，

对于任意的不恒大于或小于，存在不相等的实数 ，使得，

所以是正确的，故选①④.

点睛：本题考查了函数的单调性及其应用，解答中通过指数函数的单调性可判断①是正确的；通过二次函数的单调性可判断②是不正确的，通过构造新函数和，利用导数求解函数的单调性，即可判定③是不正确的，④是正确的，正确理解题意，确定解题思路是解答的关键。