Question

如图，四棱锥中，底面是矩形， 底面， ， ，点是的中点，点在边上移动.

（1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；

（2）证明：无论点在边的何处，都有.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据中位线有，所以平面.（2）根据可知平面，故,在等腰三角形中， 为中点，故，所以平面，所以.

试题解析：

证明：（1）当点为的中点时， 与平面平行，

在中， 、分别为、的中点， .

又平面，而平面， 平面.

（2）证明： 平面， 平面，

.又， ，

， 平面，

平面，又平面， .

又，点是的中点， .

又， 、平面，

平面.

平面， .

点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查线面平行的证明方法，考查线线垂直的证明.第一问要判断直线和平面的位置关系，由于题目给定两个中点，故首先考虑到中位线，利用中位线可证明线线平行，进而可以得到线面平行.第二问要证明线线垂直，则是通过线面垂直来证明，而线面垂直又要转化为线线垂直来证明.