选修4-5:不等式选讲
已知定义在上的函数, ,存在实数使成立.
(Ⅰ)求正整数的值;
(Ⅱ)若, , ,求证: .
选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且两坐标系有相同的长度单位.已知点的极坐标为, 是曲线: 上任意一点,点满足,设点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若过点的直线的参数方程(为参数),且直线与曲线交于, 两点,求的值.
已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).
(Ⅰ)求的解析式及单调递减区间;
(Ⅱ)若函数无零点,求的取值范围.
已知的顶点,点在轴上移动, ,且的中点在轴上.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过的直线交轨迹于不同两点, ,求证: 与, 两点连线, 的斜率之积为定值.
如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形,其中.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)试求三棱锥的体积.
随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
| 年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 |
赞成 |
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不赞成 |
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合计 |
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(Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至多有1人年龄在[55,65)的概率.
参考数据如下:附临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值: (其中)