Question

函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（    ）

A. 函数（）存在1级“理想区间”

B. 函数（）不存在2级“理想区间”

C. 函数（）存在3级“理想区间”

D. 函数， 不存在4级“理想区间”

Answer

D

【解析】A中,当x⩾0时,f(x)=x2在[0,1]上是单调增函数,且f(x)在[0,1]上的值域是[0,1]，

∴存在1级“理想区间”，原命题正确；

B中,当x∈R时,f(x)=ex在[a,b]上是单调增函数,且f(x)在[a,b]上的值域是[ea,eb]，

∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；

C中,因为在(0,1)上为增函数。

假设存在[a,b]⊂(0,1),使得f(x)∈[3a,3b]则有，所以命题正确；

D中,不妨设a>1，则函数在定义域内为单调增函数，

若存在“4级理想区间”[m,n]，

则由m,n是方程tanx=4x,x∈的两个根，

由于该方程不存在两个不等的根，

故不存在“4级理想区间”[m,n]，

∴D结论错误

本题选择D选项.

点睛：新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.