Question

已知，函数.

（1）若，求函数的最值及对应的的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）时, , 时, ；（2）.

【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积的坐标表示和辅助角公式，化简.由的取值范围，求得的取值范围，并由此得到函数的最大值和最小值及对应的值.（2）将原不等式等价变形为恒成立，由（1）知且，解得.

试题解析：

(1)因为， ，

所以 = = ,

∵x∈,∴,

当,即时, ,

当,即时, .

(2)方法一:∵），

且，故的取值范围为.

方法二：∵），

故的取值范围是.

点睛：本题主要考查向量数量积运算的坐标表示，考查利用辅助角公式化简求值，考查三角函数求值域的问题，考查不等式恒成立问题的解法.利用向量数量积的坐标表示和辅助角公式可化简为的形式，然后根据角的范围，求得三角函数值域的取值范围.