Question

在四棱柱中，四边形是平行四边形， 平面， ， ， 为中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求多面体的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）根据余弦定理求，底面满足勾股定理，所以，又可证明，所以平面，即证明面面垂直；（2）取的中点，分别连接，这样多面体可分割为三棱柱和三棱锥，所以分别求体积.

试题解析：

（1）在中， ，

由余弦定理得.∴.

∴.

∵平面平面，

∴.

，∴平面.

平面.∴平面 平面.

（2）设的中点分别为，连接，

∵分别为的中点，

∴多面体为三棱柱.

∵平面，∴为三棱柱的高.

，

三棱柱体积为.

在四棱锥中， . ∴底面.

，

四棱锥的体积为，

∴多面体的体积为.