Question

已知函数.

（1）若，则当时，讨论单调性；

（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性.首先确定函数定义域为，根据题中条件，然后求导数，接下来对导数整理得到，由于，所以 ，且时， 或，然后分别讨论， ， 时函数的单调性；（2）本问主要考查“有解”问题，首先需要将问题等价转化，即当时， ，因此问题转化为求函数在区间上的最大值，由已知条件，则，接下来主要考虑分子，判别式，分别讨论， 时函数的最大值，再根据即可求出的取值范围.

试题解析：（1）,

,

令，得

当时， ，函数在定义域内单调递减

当时，在区间，

在区间上单调递增，

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

（2）由题意知，当时， 在上的最大值,

当时，

则

(1) 当时，

故 上单调递增，

((2))当时设的两根分别为

则

故

综上，当时，

所以实数的取值范围是

点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法.