Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问主要考查待定系数法求椭圆标准方程，首先设椭圆方程为，然后根据条件列方程组，求解后即得到椭圆标准方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合问题，分析可知，内切圆面积最大时即为内切圆半径最大， 的面积可以表示为，由椭圆定义可知的周长为定值，这样的面积转化为，然后再根据直线与椭圆的位置关系，的面积表示为，这样可以联立直线方程与椭圆方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，最后转化为关于的函数，即可求出最值.

试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．

则，

解得：椭圆方程为，

（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，

则的周长为因此最大，

就最大，

由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

得 .

则，

令，可知，则 ，

令，则，当时，，在上单调递增，有，

即当时，，这时所求内切圆面积的最大值为．

故直线内切圆面积的最大值为.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的综合.

点睛：直线与圆锥曲线问题一直以来都是考查的热点，一方面考查学生数形结合、划归转化思想的能力，另一方面考查学生分析问题及计算的能力.解题时注意到直线的斜率为0以及斜率不存在这两种特殊情况，这就决定我们在设直线方程时是选择用，还是用，这样可以避免讨论.在解决最值问题时，可以通过换元法，转化为函数、导数问题求最值，也可以利用不等式思想求最值，重点考查学生函数方程、不等式思想的应用.