Question

如图，在四棱锥中，平面平面， ， 是等边三角形，已知， ．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）证明略。

（Ⅱ）。

【解析】试题分析：本题主要考查面面垂直的判定与性质、空间几何体体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在中，利用边长得到勾股定理，从而，由面面垂直的性质定理得到平面，最后由面面垂直的判定定理得平面平面；第二问，由面面垂直得到线面垂直，即得到锥体的高，再求底面梯形的面积，最后代入到锥体的体积公式中.

试题解析：（Ⅰ）证明：在中，由于， ， ，

∴．故．

又平面平面，平面平面，

平面，∴平面.

又平面，故平面平面．

（Ⅱ）【解析】
过作交于，由于平面平面，

∴平面．∴为四棱锥的高.

又是边长为2的等边三角形,

∴．

在底面四边形中， ， ，所以四边形是梯形.

在中，斜边边上的高为，

∴四边形的面积为．

故．

考点：本题主要考查：1.面面垂直的证明；2.空间几何体体积求解.