Question

在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得：平面，结合线面垂直的定义有：.

(2)建立空间直角坐标系，由空间坐标系求解直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

证明：（1）由题意可知，在中，，

在中，，

又因为，，所以，

所以，

所以，

又侧面，且侧面，∴，

又与交于点，所以平面，

又因为平面，所以.

【解析】
（2）如图所示，以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，.

又因为，所以，

所以，，，

设平面的法向量为，

则由，得，

令，则，，是平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.