Question

已知函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为， ，

要使在区间上单调递增，只需，即

在上恒成立即可，

易知在上单调递增，所以只需即可，

易知当时， 取最小值， ，

∴实数的取值范围是.

（2）不等式即，

令，

则， 在上单调递增，

而，

∴存在实数，使得，

当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增，∴.

，画出函数和的大致图象如下，

的图象是过定点的直线，

由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，

而，∴．

∵，∴．

于是实数的取值范围是．

考点：1.利用导数研究函数极值；2.函数、导数的综合应用；3.数形结合思想方法.

点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.