Question

已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆， 是上一点， ，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆标准方程，由，可得，所以，则在中， ， ，再根据余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出椭圆的方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线的斜率显然存在，故设直线方程为，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点 ， 将题中条件转化为横坐标的等式，于是可以得出满足的方程，即可以证明总在一条直线上.

试题解析：（1）由已知得，且，

在中，由余弦定理得，解得.

则，所以椭圆的方程为.

（2）由题意可得直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得，

设，则.

设，由得

（考虑线段在轴上的射影即可），

所以，

于是，

整理得，（*）

又，代入（*）式得，

所以点总在直线上.

考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.

点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.