Question

已知函数， 其中，

（1）若是函数的极值点，求实数的值及的单调区间；

（2）若对任意的， 使得恒成立，且，求实数的取值范围.

Answer

（1）或；（2）

【解析】试题分析：（1）求导，先利用求得值，再进行验证；（2）先将问题转化为对任意的 时，都有，先分别利用导数求出两个函数的最值，要注意分类讨论思想的应用.

试题解析：（1），其定义域为，

；又是函数的极值点，

，即，

或；

经检验， 或时， 是函数的极值点，

或；

（2）假设存在实数，对任意的， 都有成立，

等价于对任意的 时，都有，

当时， ．

函数在上是减函数．

．

，且， ，

①当且时， ，

函数在上是增函数．

．

由，得，又，

不合题意．

②当时，若，则，

若，则，

函数在上是减函数，在上是增函数．

，得， ．

综上，存在实数的取值范围为．