Question

已知椭圆（）的离心率为，过焦点垂直长轴的弦长为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于、两点，求证： .

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用离心率和求得有关几何量，进而得到椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用向量的数量积为0进行判定.

试题解析：（1）由得， ， ．

所以，所求椭圆的标准方程为．

（2）设过椭圆的右顶点的直线的方程为．

代入抛物线方程，得．设、，则

． ．

点睛：在处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.