Question

已知坐标平面上点与两个定点， 的距离之比等于.

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程

Answer

(1) 的轨迹方程是,轨迹是以为圆心，以为半径的圆;

(2) ，或.

【解析】 【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求【解析】

(1)由题意，得

化简，得．

即．

点的轨迹方程是

轨迹是以为圆心，以为半径的圆

(2)当直线的斜率不存在时， ，

此时所截得的线段的长为，

符合题意．

当直线的斜率存在时，设的方程为

，即，

圆心到的距离，

由题意，得，

解得．

∴直线的方程为．

即.

综上，直线的方程为

，或.

点睛：轨迹方程的探求是高中数学中重要的题型之一，本题中的第一问是典型的到两定点距离之比为定值的点的轨迹的探求。求解时直接运用两点间距离公式建立方程，然后再两边平方进行化简，从而获得答案；第二问也是传统的直线与圆相交的问题题型。求解时先运用点斜式建立直线的方程，然后运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程使得问题获解。