选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线
的参数方程为
（
为参数， 
），以坐标原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
， 
与
交于不同的两点
.
（1）求
的取值范围；
（2）以
为参数，求线段
中点轨迹的参数方程.
设定义在区间
上的函数
的图象为
， 
、
，且
为图象
上的任意一点， 
为坐标原点，当实数
满足
时，记向量
，若
恒成立，则称函数
在区间
上可在标准
下线性近似，其中
是一个确定的正数.
（1）设函数
在区间
上可在标准
下线性近似，求
的取值范围；
（2）已知函数
的反函数为
，函数
，（ 
），点
、
，记直线
的斜率为
，若
，问：是否存在
，使
成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
已知焦点在
轴上的椭圆
的中心是原点
，离心率为双曲线
离心率的一半，直线
被椭圆
截得的线段长为
.直线
： 
与
轴交于点
，与椭圆
交于
两个相异点，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在实数
，使
？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
如图1，已知在菱形
中， 
， 
为
的中点，现将四边形
沿
折起至
，如图2.
（1）求证： 
面
；
（2）若二面角
的大小为
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”.
（1）求乙班总分超过甲班的概率；
（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分.若主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为
，求
的分布列及数学期望.
如图，某生态园将一块三角形地
的一角
开辟为水果园，已知角
为
， 
的长度均大于200米，现在边界
处建围墙，在
处围竹篱笆.
（1）若围墙
、
总长度为200米，如何可使得三角形地块
面积最大？
（2）已知竹篱笆长为
米， 
段围墙高1米， 
段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若
，求围墙总造价的取值范围.
