Question

设定义在区间上的函数的图象为， 、，且为图象上的任意一点， 为坐标原点，当实数满足时，记向量，若恒成立，则称函数在区间上可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数.

（1）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围；

（2）已知函数的反函数为，函数，（ ），点、，记直线的斜率为，若，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用标准下线性近似的定义得到恒成立问题，结合题意求解 的取值范围即可；

(2)利用题意构造函数 ，结合函数零点存在定理证得 是存在的，然后结合导函数与原函数的关系求解取值范围即可.

试题解析：

(1)由与，

得和的横坐标相同。

对于区间上的函数, ,

则有

，再由恒成立,可得.故k的取值范围为

(2)由题意知, 令 .则

令 .则

当t<0时, , 单调递减;当t>0时, , 单调递增.

故当t≠0时, 0,即，

从而

所以.

由零点存在性定理可得：存在,使得

又 ,所以单调递增,故存在唯一的,使得.

由.故当且仅当时,

综上所述,存在,使成立,且的取值范围为