Question

设是椭圆（）的左焦点， 是上一点，且与轴垂直，若，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）以椭圆的左顶点为的直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】（1）依据题设条件建立方程组进行求解；（2）先建立直线的方程，再与椭圆方程联立，运用直线与椭圆的位置关系建立面积的函数关系，进行分析求解：

（1）因为点， 与轴垂直，所以或，

则，即，故椭圆的方程为；

（2）点，设直线的方程为直线（），

代入椭圆方程消去得： ，

设，则，所以，

直线的方程为直线，

同理可得，所以的面积： ，令，因为，则， 在上单增，所以，所以, 面积的最大值为.

点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高考重点考查的知识点与考点之一。求解本题的第一问时，依据题设条件建立方程组，解得，从而使得问题获解；求解第二问时，先建立直线的方程为直线（），再与椭圆方程联立，运用直线与椭圆的位置关系中的坐标关系建立面积关于斜率的函数关系，进而运用函数的单调性进行分析求解，使得问题获解。