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已知数列的各项均为非负数,其前项和为,且对任意的,都有. (1)若, ,求的最大...

已知数列的各项均为非负数,其前项和为,且对任意的,都有.

(1)若 ,求的最大值;

(2)若对任意,都有,求证: .

 

(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析:(1)根据已知条件变形可得,即,设,根据累加求和可得,根据不等式,可以得出的取值范围,又因为,便可求出的最大值;(2)首先假设,根据已知条件得 ,于是通过证明对于固定的值,存在,由此得出与矛盾,所以得到,再设,则根据可得,接下来通过放缩,可以得到,于是可以得出要证的结论. 试题解析:(1)由题意知,设 , 则,且, , 所以, . (2)若存在,使得,则由, 得, 因此,从项开始,数列严格递增, 故 , 对于固定的,当足够大时,必有,与题设矛盾,所以不可能递增,即只能. 令, , 由,得, , 故 , , 所以, 综上,对一切,都有. 考点:1.数列的综合应用;2.不等式的放缩. 点睛:本题考查数列的综合应用.通过对已知条件变形,进行恰当的构造和替换,通过递推,及基本不等式的应用求出最值.另外单调性的证明及不等式的放缩都是解决本题的关键.这就要求学生对知识有全面的把握能力和分析能力.属于数列、函数、不等式知识的综合考查.  
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考点分析:
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