Question

如图，设点， ， 分别为椭圆的左顶点和左，右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连接并延长交椭圆于点.

（1）求点的坐标（用表示）；

（2）若，求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）首先求出左顶点，然后求出直线方程为： ，联立椭圆方程与直线方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，然后根据韦达定理表示出两根之积，然后就可以得到点横坐标，再带入直线方程，得出总坐标；（2）易知左焦点，右焦点，又根据，所以，则所在直线方程为，同样可以求出直线的方程，然后联立两直线方程，可以求出交点的坐标，将点坐标带入椭圆方程后，便可以求出值.

试题解析：（1）设点，直线的方程为，联立得， ，

，即，

，即.

（2）易知， ， ，

所以直线， 方程分别为， ，

由，解得，代入，

得，即，得，

所以.

考点：直线与圆锥曲线.

点睛：直线与圆锥曲线问题是高考的热点问题，也是难点问题，主要方法三把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于（或）的一元二次方程，需要考虑到因素有判别式、韦达定理，将题中的条件合理的转化为坐标间的关系，考查划归转化思想、数形结合思想的应用.