Question

（A）设函数， .

（1）证明：函数在上为增函数；

（2）若方程有且只有两个不同的实数根，求实数的值.

（B）已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若存在唯一实数，使得成立，求实数的值.

Answer

（A）（1）详见解析; （2）.（B）（1）;（2）.

【解析】试题分析：（A）（1）计算函数的导数并因式分解，证明因式分解后每个因子都是正数，由此判断原函数在上为增函数.（2）利用导数求得函数的单调区间，求得函数的极大值和极小值，要使有两个不同的实数根，则需极大值等于，由此列方程可求得的值.（B）（1）利用导数求得函数的单调区间和极值，比较两个极值点的函数值，由此判断出是函数的最小值.（2）注意到方程的判别式大于零，有两个不同的实数根，若存在唯一实数，使得成立，由（1）得，即，解得.

试题解析：

（A）证明：（1）的定义域为， ，

当时，由， ，得，所以，则有函数在上为增函数.

（2）令，得或.

列表如下：

0

正

0

负

0

正

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

则当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值，

又时， ， 时， ， 时， ，

因为方程，即有且只有两个不同的实数根，

所以，解得（负根舍去）.

（B）（1）的定义域为，

，

令，得或，

列表如下：

1

正

0

负

0

正

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

则函数在， 上为增函数，在上为减函数；

当时， ，所以当时， ，又，

所以时，函数有最小值.

（2）对于，有，则函数有两个不同的零点，

若存在唯一实数，使得成立，由（1）得，即，解得.

点睛：本题主要考查利用导数求函数单调区间的方法，考查利用导数求解最大值和最小值的方法，考查利用导数证明不等式等知识.利用导数求函数的单调区间和极值、最值，其基本步骤是：先求出函数的定义域，然后求导求出出函数的单调区间，利用单调区间研究函数的极值和最值.