Question

（A）已知数列满足，其中， .

（1）求， ， ，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；

（2）由（1）写出数列的前项和，并用数学归纳法证明.

（B）已知数列的前项和为，且满足， .

（1）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；

（2）设， ，求的最大值.

Answer

（A）（1）详见解析;（2）详见解析.（B）（1）详见解析;（2）.

【解析】试题分析:（A）（1）利用的递推关系得到，从而求得，由此猜想.（2）由于是等比数列，利用前项和公式可得的表达式，然后利用数学归纳法的证明过程证明结论. （B）（1）利用，和的递推关系，可求得的值，由此猜想.然后利用数学归纳法的证明过程证明结论. （2）利用，可求得的通项公式，代入并化简，利用函数的单调性可求得其最大值.

试题解析：

（A）解（1）由题意， ， ， ，

则， ， ，

猜想得： .

（2）由（1），数列是以4为首项，公比为2的等比数列，

则有，

证明：当时， 成立，

假设当时，有，

则当时， ，

综上有成立.

（B）（1），

由，得，

由，得，

猜想得： ，

证明：当时， 成立，

假设当时，有，

则当时， ， .

综上， 成立.

（2）由（1），时， ，

当时， 满足止式，

所以，则， ，

设，则有在上为减函数，在上为增函数，因为，且，所以当或时， 有最大值.

点睛：本题主要考查利用数列的前几项猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明，考查利用求的方法.第一问猜想数列的通项公式，需要写出数列的前几项，根据前几项可猜想出数列的通项公式.数学归纳法主要主要当时，要用上时的结论. 题目已知的表达式，要求的表达式，可利用来求解.