Question

已知数列满足，其中， .

（1）求， ， ，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；

（2）设，数列的前项和为，求证： .

（B）已知数列的前项和为，且满足， .

（1）求， ， ， ，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；

（2）设， ，求的最大值.

Answer

（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）.

【解析】试题分析:（A）（1）利用的递推关系得到，从而求得，由此猜想.（2）将的表达式代入，求得，用裂项求和法求得前项和.（B）利用，和的递推关系，可求得的值，由此猜想.（2）利用，可求得的通项公式，代入并化简，利用基本不等式可求得其最大值.

试题解析：

（A）解（1）由题意， ， ， ，

则， ， ，

猜想得： .

（2）由（1）得，

则

.

（B）解（1），

由，得，

同理可得， ，

猜想： .

（2）由（1），时， ，

当时， 满足止式，

所以，

则， ，

设，则有在上为减函数，在上为增函数，

因为，且，

所以当或时， 有最大值.

点睛：本题主要考查利用数列的前几项猜想数列的通项公式，考查数列求和中的裂项求和法，考查利用求的方法.第一问猜想数列的通项公式，需要写出数列的前几项，根据前几项可猜想出数列的通项公式.如果数列通项的分母是两个等差数列相乘，则考虑用裂项求和法求前项和.