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已知函数, . (1)证明: ,直线都不是曲线的切线; (2)若,使成立,求实数...

已知函数 .

(1)证明: ,直线都不是曲线的切线;

(2)若,使成立,求实数的取值范围.

 

(1)见解析;(2). 【解析】试题分析:(1)若直线与曲线相切,因直线过定点,若设切点则可得①,又, 上单调递增,当且仅当时,①成立,这与矛盾,结论得证. (2)可转化为,令, , ,分类讨论求的最小值即可. 试题解析: (1)的定义域为, ,直线过定点,若直线与曲线相切于点(且),则,即①,设, ,则,所以在上单调递增,又,从而当且仅当时,①成立,这与矛盾. 所以, ,直线都不是曲线的切线; (2)即,令, , 则,使成立, . (i)当时, , 在上为减函数,于是,由得,满足,所以符合题意; (ii)当时,由及的单调性知在上为增函数,所以,即. ①若,即,则,所以在为增函数,于是,不合题意; ②若,即,则由, 及的单调性知存在唯一,使,且当时, , 为减函数;当时, , 为增函数; 所以,由得,这与矛盾,不合题意. 综上可知, 的取值范围是.  
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等级

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