Question

设函数， （）.

（1）求函数的单调增区间；

（2）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当时， 的单调增区间为; 时， 的单调增区间为;（2）0.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导函数，原函数的单调增区间即为使导函数大于零的区间，根据导函数分段讨论 的不同取值范围时的单调增区间即可.

（Ⅱ）单调递增，存在唯一，使得，即，当时， ，当时， ，所以 求得的范围，得到的范围，得到最小整数值.

试题解析：（1）（）

①当时，由，解得；

②当时，由，解得；

③当时，由，解得；

综上所述，

当时， 的单调增区间为；

时， 的单调增区间为.

（2）当时， ， ， ，

所以单调递增， ， ，

所以存在唯一，使得，即，

当时， ，当时， ，

所以

，

记函数，则在上单调递增，

所以，即，

由，且为整数，得，

所以存在整数满足题意，且的最小值为0.

点晴:本题主要考查导数的单调性，导数与极值点、不等式等知识. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．