Question

在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列，.

（1）①求证：数列为等差数列；

②求数列通项公式；

（2）设数列的前项和为,证明:.

Answer

（1）①证明见解析；②当为偶数时,当为奇数时；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有，化简得，所以数列为等差数列；②由①得首项为公差为，所以，即，结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时；（2），另外，，故，所以，利用裂项求和法求得.

试题解析：

（1）①因为数列单调递增数列,, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列.

②又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此,

当为偶数时,当为奇数时.

（2）求数列通项公式为:

,

因为

,所以,

则有.

考点：数列与不等式．

【方法点晴】在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式．