Question

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问： 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要确定的值，题中焦点说明，点在椭圆上，把坐标代入标准方程可得的一个方程，联立后结合可解得；（2）定值问题，就是让切线绕圆旋转，求出的周长，为此设直线的方程为（，由它与圆相切可得的关系， ，下面来求周长，设，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后得一元二次方程，可得，由弦长公式得弦长，再求得（这也可由焦半径公式可得），再求周长，可得定值．

试题解析：（1）由题意得

所以椭圆方程为

（2）由题意，设的方程为

与圆相切， ，即

由

设，则

又

，同理

（定值）

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合．

【名师点睛】若直线与椭圆相交于两点，则

，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得（或），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．