Question

如图，已知四棱锥,底面是直角梯形， ∥,, ， 是边长为的等边三角形， ．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若点为中点,求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得平面 ,然后利用面面垂直的判断定理证得面面垂直即可.

(2)建立空间直角坐标系，利用点的坐标求得平面向量的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

试题解析：

（Ⅰ）是边长为的等边三角形, 底面是直角梯形，

又

又

且

（Ⅱ）以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则

设平面的法向量为，则 取

为中点，则，设平面的法向量为，

则取

由． 二面角的余弦值为．

点睛：二面角是中学数学中的命题热点，处理方法如下：

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝< >.

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．