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已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值; (2)设,若,且对任意的恒成立,...

已知函数处的切线方程为.

(1)求实数的值;

(2)设,若,且对任意的恒成立,求的最大值.

 

(Ⅰ), (Ⅱ) 【解析】试题分析:(1)先求得函数的导函数,利用,列方程组解得,(2)由(1)对不等式进行分离常数,即对任意都成立.令,求导后令其分子为,利用导数求得的单调区间并判断其函数值的正负,由此确定的单调区间进而求得的最小值,从而求得的最大值. 试题解析: (1), 所以且, 解得, (2)由(1)与题意知对任意的恒成立, 设,则, 令,则, 所以函数为上的增函数. 因为, 所以函数在上有唯一零点,即有成立, 所以 故当时, ,即;当时, ,即 所以函数在上单调递减,在上单调递增 所以 所以,因为,所以,又因 所以最大值为 点睛:本题主要考查导数与切线的对应关系,考查利用函数导数求解不等式恒成立问题,考查分离常数法和二阶导数的应用.第一问考查与切线有关的问题,关键在于切点和斜率,利用切点和斜率建立方程组,解方程组可求得的值.在第二问在分离常数且求导后,发现无法写出单调区间,故需要利用二阶导数来解决.  
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