选修4-5:不等式选讲
已知, ,且.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)求的最大值.
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线和共有四个不同交点,求的取值范围.
已知函数的图象的一条切线为轴.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)令,若不相等的两个实数, 满足,求证: .
已知椭圆方程,其左焦点、上顶点和左顶点分别为, , ,坐标原点为,且线段, , 的长度成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过点的一条直线交椭圆于点, ,交轴于点,使得线段被点, 三等分,求直线的斜率.
某金匠以黄金为原材料加工一种饰品,由于加工难度大,该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品,每个成品可获利3万元,每个废品损失1万元,假设该金匠加工每件饰品互不影响.
(Ⅰ)若该金匠加工4个饰品,求其中废品的数量不超过1的概率?
(Ⅱ)若该金匠加工了3个饰品,求他所获利润的数学期望.
(两小问的计算结果都用分数表示)
如图, 是正方形的边的中点,将与分别沿、折起,使得点与点重合,记为点,得到三棱锥.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.