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选修4-5:不等式选讲 已知, ,且. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)求的最大值.

选修4-5:不等式选讲

已知 ,且.

(Ⅰ)求的最小值;

(Ⅱ)求的最大值.

 

(Ⅰ)8.(Ⅱ)详见解析 【解析】试题分析: (Ⅰ)根据题中等式由基本不等式放缩,可得的范围,再由可得最小值; (Ⅱ)结合要求的最值可得,所以,验证取等条件求出最值. 试题解析:(Ⅰ)由,可得, , 当且仅当时等号成立,因此的最小值为8. (Ⅱ)因为, 所以, 当且仅当,即且时,等号成立. 点睛:本题考查学生利用基本不等式与和或者乘积的定值求最值的问题,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑因式,其目的在于使等号能够成立.(2)既要记住基本不等式的原始形式,而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等,例如:ab≤2≤,≤≤ (a>0,b>0).  
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选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)若曲线共有四个不同交点,求的取值范围.

 

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已知函数的图象的一条切线为轴. 

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)令,若不相等的两个实数 满足,求证:

 

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已知椭圆方程,其左焦点、上顶点和左顶点分别为 ,坐标原点为,且线段 的长度成等差数列.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若过点的一条直线交椭圆于点 ,交轴于点,使得线段被点 三等分,求直线的斜率.

 

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某金匠以黄金为原材料加工一种饰品,由于加工难度大,该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品,每个成品可获利3万元,每个废品损失1万元,假设该金匠加工每件饰品互不影响.

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(Ⅱ)若该金匠加工了3个饰品,求他所获利润的数学期望.

(两小问的计算结果都用分数表示)

 

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如图, 是正方形边的中点,将分别沿折起,使得点与点重合,记为点,得到三棱锥

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

 

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